Главная › Новости

Крайние случаи в математике

Опубликовано: 02.11.2017

10 ТРЮКОВ С МОНЕТАМИ, КОТОРЫЕ ПОРАЗЯТ ВАШИХ ДРУЗЕЙ

При рассмотрении функций за скобками, в тени остается обычно много тонких вопросов, относящихся к самой сути математики — к логике рассуждений. Эти вопросы относятся к так называемым крайним случаям , где математическая, логическая ситуация становится парадоксальной, но неминуемо всплывают, если к доказательствам теорем и к решениям задач отнестись более внимательно, и именно с логической точки зрения, что необходимо для сдачи ЕГЭ по математике .

Вы знаете, что сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, и доказательство этого утверждения обычно проводят примерно следующим образом: «Если функции у=f(x) и у=g(x) возрастают, т.е. при любых а<b выполняются неравенства f(a)<f(b) и g(a)<g(b), а эти два неравенства можно сложить: f(a)+g(a)<f(b)+g(b), а это и означает, что функция у=f(x)+g(x) — возрастающая».

Все ли в этом доказательстве логически чисто? Один пробел, можно сказать, бросается в глаза — конечно, о числах а и b надо было сказать, что оба они принадлежат областям определения обеих данных функций. А при этом добавлении в связи с этим доказательством вроде бы и не остается никаких проблем.

Но, задумавшись об области определения, следует задать себе вопрос, а что будет, если таких двух чисел а и b не существует, если их области определения не имеют общих точек или только одну общую точку?

Например, функция $y=\sqrt{x}$ — возрастающая (см. рис. а) (напомним, что функцию называют просто возрастающей, если она возрастает на своей области определения), и точно так же возрастающей является функция $y=-\sqrt{-x}$ (см. рис. б), но сумма этих функций $y=\sqrt{x}-\sqrt{-x}$ — определена только в точке х=0 (см. рис. в), и считать эту функцию возрастающей нельзя.

Ситуация может быть еще хуже: сумма функций $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{-x-1}$, т.е. функция $y=\sqrt{x}+\sqrt{-x-1}$ вообще не определена ни в одной точке , но, согласно доказанному утверждению, является возрастающей. Возникает дилемма: или согласиться с этими выводами и признать доказательство утверждения о сумме возрастающих функций правильным, или, наоборот, «подправить» эту теорему, наложив на функции дополнительные ограничения — например, сформулировать ее так: «Если две функции возрастают на некотором промежутке, то и их сумма возрастает на этом промежутке».  Что же будет правильным на самом деле, читайте в следующей статье .

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями: