Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Опубликовано: 21.10.2017

2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Повторим определения раздела 1.5.4.

2.1.1. Декартова прямоугольная система координат.

Совокупность точки О ( начала координат ) и ортонормированного базиса i , j , k , векторы которого отложены из точки О , называется декартовой прямоугольной системой координат в пространстве . Прямые Ох , Оу , Oz , проходящие через точку О в направлении базисных ортов, называются  осями координат (осью абсцисс , осью ординат , осью аппликат) . Пусть А – произвольная точка пространства. Вектор r A = ОА = x i + y j + z k называется радиусом-вектором точки А , координаты этого вектора ( x, y , z ) (равные проекциям вектора на координатные оси) называются также координатами точки А (обозначение: А (x , y , z )).

Если вектор  задан координатами своей начальной точки В 1( x1, y 1, z 1)и конечной точки В 2( x2, y 2, z 2), то координаты вектора   равны разности координат конца и начала :  (так как ).

            В дальнейшем нам придется сдвигать систему координат на определенный вектор. Выясним, как при этом меняются координаты точек и векторов.

            Параллельный перенос координат. Пусть новая система координат ( O’, x ’, y ’, z ’) получена из старой ( O, x , y , z ) сдвигом на вектор . Тогда

. Базисные орты в обеих системах одинаковы, поэтому координаты вектора    есть координаты точки О ’ в новой системе координат:

2.1.2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

2.1.2.1. Расстояние между двумя точками (длина отрезка). Эту задачу мы уже рассматривали. Длина отрезка В 1 В 2 (верхний рисунок) равна длине вектора, соединяющего эти точки, т.е.

 .

2.1.2.2. Деление отрезка в данном отношении. Говорят, что точка М делит отрезок М 1 М 2 в отношении , если . Найдем координаты точки М . На рисунке справа изображен отрезок и его проекция на ось Ох . Из подобия треугольников . Так же можно получить выражения для координат у , z . Окончательно, координаты точки, делящей отрезок в отношении , равны  В частном случае , т.е. когда точка М – середина отрезка, получаем, что координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат концов:

2.1.2.3. Площадь треугольника. Пусть в пространстве треугольник задан координатами своих вершин: А (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2), C( x3, y 3, z 3). Тогда , , и площадь тр-ка ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах: . Если треугольник лежит в плоскости Оху , то z 1 = z 2 = z 3 = 0, то, раскрывая определитель по третьему столбцу, получим .

О школе
О школе

О школе

Школа была открыта в 1959г. Первые выпускники были выпущены в 1966 г. Учредителем является МНО РТ, Горисполком. Координаты школы: Республика Татарстан, 420012, г. Казань, ул. Муштари д.6.
История

История

Школа № 18 была создана в 1959 году, как первая школа в республике Татарстан с углублённым изучением английского языка. Реформирование школьного образования проводится в школе по
Похожие новости /   Комментарии

    Обновления сайта

    Здравствуйте. Сегодня наконец то мы обновили наш сайт. Теперь на сайте доступны библиотеки для чтения, Вы всегда можете задать вопрос администратору сайта. Получить консультацию на все интересующие вопросы. Ознакомится с новыми событиями и новостями. В дальнейшем сайт будет наполнятся свежими новостями и статьями.

    О школе

    Школа была открыта в 1959г. Первые выпускники были выпущены в 1966 г. Учредителем является МНО РТ, Горисполком. Координаты школы: Республика Татарстан, 420012, г. Казань, ул. Муштари д.6. Полное название- Средняя школа №18 с углублённым изучением английского языка Директор: Шевелёва Надия Магсутовна. Научный руководитель: Русинова Сазида Исмагиловна,

    История

    Школа № 18 была создана в 1959 году, как первая школа в республике Татарстан с углублённым изучением английского языка. Реформирование школьного образования проводится в школе по эволюционному пути, избегая резких преобразований, опасных в этой системе человеческой деятельности. С этой целью 7 лет школа работала в условиях экспериментальной площадки, где
rss