Главная › Новости

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Опубликовано: 21.10.2017

2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Повторим определения раздела 1.5.4.

2.1.1. Декартова прямоугольная система координат.

Совокупность точки О ( начала координат ) и ортонормированного базиса i , j , k , векторы которого отложены из точки О , называется декартовой прямоугольной системой координат в пространстве . Прямые Ох , Оу , Oz , проходящие через точку О в направлении базисных ортов, называются  осями координат (осью абсцисс , осью ординат , осью аппликат) . Пусть А – произвольная точка пространства. Вектор r A = ОА = x i + y j + z k называется радиусом-вектором точки А , координаты этого вектора ( x, y , z ) (равные проекциям вектора на координатные оси) называются также координатами точки А (обозначение: А (x , y , z )).

Если вектор  задан координатами своей начальной точки В 1( x1, y 1, z 1)и конечной точки В 2( x2, y 2, z 2), то координаты вектора   равны разности координат конца и начала :  (так как ).

            В дальнейшем нам придется сдвигать систему координат на определенный вектор. Выясним, как при этом меняются координаты точек и векторов.

            Параллельный перенос координат. Пусть новая система координат ( O’, x ’, y ’, z ’) получена из старой ( O, x , y , z ) сдвигом на вектор . Тогда

. Базисные орты в обеих системах одинаковы, поэтому координаты вектора    есть координаты точки О ’ в новой системе координат:

2.1.2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

2.1.2.1. Расстояние между двумя точками (длина отрезка). Эту задачу мы уже рассматривали. Длина отрезка В 1 В 2 (верхний рисунок) равна длине вектора, соединяющего эти точки, т.е.

 .

2.1.2.2. Деление отрезка в данном отношении. Говорят, что точка М делит отрезок М 1 М 2 в отношении , если . Найдем координаты точки М . На рисунке справа изображен отрезок и его проекция на ось Ох . Из подобия треугольников . Так же можно получить выражения для координат у , z . Окончательно, координаты точки, делящей отрезок в отношении , равны  В частном случае , т.е. когда точка М – середина отрезка, получаем, что координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат концов:

2.1.2.3. Площадь треугольника. Пусть в пространстве треугольник задан координатами своих вершин: А (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2), C( x3, y 3, z 3). Тогда , , и площадь тр-ка ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах: . Если треугольник лежит в плоскости Оху , то z 1 = z 2 = z 3 = 0, то, раскрывая определитель по третьему столбцу, получим .